在坐标系下测距

在 GIS 软件中，测量距离是一项严谨而复杂的工作。在现实世界中，我们可以通过测距仪直接测量地面上的真实距离；而在 GIS 中，距离测量依赖于坐标参考系统。然而，由于地球并非规则球体，而是一个不规则的椭球体，将其数字化为坐标系统的过程中会引入各种近似误差，导致在不同坐标系下测得的距离可能不完全一致，任何坐标系下的距离计算都需考虑几何变形和投影误差。。

在 地理坐标系（也称为大地坐标系）中，地球通常被简化为一个参考椭球体（Reference Ellipsoid），这是一个用于逼近地球形状的数学模型。由于各类椭球体采用的参数（如长半轴、扁率）不同，基于这些椭球体计算出的空间距离也会有所差异，从而影响测量精度。

而在 投影坐标系 中，测距误差通常更为显著。将椭球面投影到二维平面本身就是一种变形过程，不可避免地引入形变误差。随着测量范围的扩大，尤其是在高纬度或远离中央经线的位置，这些误差可能会被进一步放大，导致实际距离与投影计算距离之间出现较大偏差。

因此，在使用 GIS 软件进行距离测量时，应充分考虑所使用的坐标系类型和其带来的几何特性差异，以确保测量结果的合理性和准确性。软件中提供了距离的四种选项，分别是测地线、平面、等角线和大椭圆线。

测地线 Geodesic Line

测地线是地球参考椭球面上两点间的最短曲线路径，其本质是椭球面上的"直线"。在球体上，这对应于“大圆航线”，但在椭球体上则需考虑地球的扁率影响。测地线路径所经过的方向不断变化（除非沿子午线或赤道），但总体长度最短。测地线广泛用于测绘和导航领域，其距离计算精度可达到毫米级。

应用场景

测地线广泛应用于测绘制图、航空航海和军事领域。例如，在测绘中需要计算两已知坐标点之间的精确距离或划定边界，通常采用椭球测地线以保证准确性（很多国际边界和海洋划界即由各端点坐标通过测地线连成）。

在航空领域，远程航班规划通常依据测地线（近似为球面大圆）来确定最短飞行路径，以节省燃料。比如，从北京飞往纽约的航线如果沿测地线规划，将比沿固定航向飞行节省数％的距离。

在卫星应用中，虽然卫星轨道本身不沿地表，但当需要表示卫星在地表的投影路径时，常用测地线或大圆进行近似。

军事上，导弹最远射程通常假设沿地球椭球表面的测地线距离，以评估打击范围。

总的来说，测地线因其代表最短路径， 是各种需要最优距离计算的GIS分析和导航规划的基础选择

计算方法与算法

• Vincenty公式法： Vincenty算法由波兰裔测地学家Thaddeus Vincenty提出（1975年），用于计算椭球上两点间的测地线距离和方位角。它采用迭代方法求解“测地线反解”（已知两点经纬度，求最短距离和方位）和“测地线正解”（已知起点、方位和距离，求终点）问题。Vincenty公式基于参考椭球（如WGS84）的长半轴和扁率参数，算法涉及将地理纬度转换为辅助球面的化简纬度，然后利用球面三角计算，再迭代修正距离。该方法比简单的球面大圆公式复杂，但精度很高，在地球椭球面上可达0.5毫米。需要注意的是，Vincenty算法在两点接近对跖点（几乎相对的地点）时可能不收敛。

• Karney算法（GeographicLib）： 为提高测地线计算的稳健性和精度，Karney于2013年提出了改进算法。该算法基于对椭球测地线公式的级数展开，能够处理Vincenty方法的极端情况（如近对跖点）并达到接近浮点极限的精度。Karney算法已被实现在GeographicLib库中，很多现代GIS工具和编程库（如geopy等）默认采用Karney方法计算测地线距离。相比Vincenty，Karney算法收敛更快、更可靠，适合于高精度要求的测绘和地理计算。

• 其他方法： 在球面模型下，常用**半正矢公式（haversine公式）**直接计算两点间大圆距离，作为测地线的近似。但由于地球是扁球，球面方法存在最多约0.5%的误差sourceforge.net（例如距离1公里时误差可达数米，长距离航线误差达数公里）。因此，在需要高精度（如测绘、边界划定）时，应使用椭球测地线算法。

投影距离

投影距离也称作平面距离、笛卡尔距离，是将坐标系转为对应投影坐标下的平面距离。

等角线（Rhumb Line，航向线）

定义与特点： 等角线（又称恒向线、loxodrome）是在地球表面上与经线始终保持恒定夹角的曲线。换言之，航行或移动过程中罗盘方位（相对于真北的角度）不变，则路径即为等角线。在墨卡托投影的地图上，等角线会显示为直线，这一特性使其在航海史上极为重要。与测地线相比，等角航线并非两点间的最短路径，但因航向不变，早期航海和航空导航中为了简化操舵经常采用此路径。

典型应用

等角航线在航海史上占有重要地位。古代航海因为缺乏精密导航仪器，水手更易保持罗盘航向恒定，所以常采用等角航线来航行。例如16世纪的航海图即使用了墨卡托投影，方便航线绘制为直线。

在实际应用中，低纬度地区或短途/沿岸航行常用恒向航线，因为此时等角线与最短路径差别不大且航向易于保持。然而对于高纬度或跨洋长航线，等角线绕曲严重，路径明显长于测地线：例如伦敦到纽约沿恒向线要比大圆航线多走约4%的距离，而纽约到北京若沿恒向线更会比最短路径长约30%。因此现代远程航行多采用测地线/大圆航线，而等角线更多用于教学演示或专业场合（如沿固定方位线巡航的气象无人机等）。

尽管如此，一些地图学场景下仍关注等角线：比如航海地图上绘制等角网，以供船长根据恒向线快速判定航向；又如气象学上分析恒定风向路径等。在GIS分析中，如果需要表示恒定方位的移动轨迹，等角线模型会派上用场。

计算方法与算法

球面模型下的等角线公式

在球面模型中，等角线可以通过球面三角法则推导。球面等角线距离公式为：

$$d = R \cdot \sqrt{ \Delta\phi^2 + q^2 \cdot \Delta\lambda^2 }$$

• $R$ 为球体半径；
• $\Delta\lambda$ 为经度差，单位为弧度，取最小夹角范围 $[-\pi, \pi]$。

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初始航向角（方位角）计算：

$$\theta = \arctan\left( \frac{ \Delta\lambda }{ \Delta\psi } \right)$$

椭球模型下的等角线公式（近似）

在椭球模型上，Rhumb Line 的计算更复杂，因为经线间距随纬度变化，不再保持均匀。常见处理方法：

1. 近似法：
   • 先计算两点之间沿子午圈（经线方向）的椭球弧长（纯南北向距离）；
   • 再通过除以 $\cos\alpha$（$\alpha$ 为航向角）估算路径长度。
2. 投影-反解法（更准确）：
   • 将两点经纬度转换为 椭球墨卡托投影坐标（需积分 $1/\cos\phi'$）；
   • 在投影平面上直接计算直线距离；
   • 再将该距离反算回椭球曲面长度。

这种方法虽然涉及复杂积分，但在中短程、中低纬度区域误差较小，精度可接受。

大椭圆线（Great Ellipse Line）

大椭圆线是指将经过地球椭球体中心并包含起点和终点的平面，去截割地球椭球所形成的曲线。换句话说，大椭圆是椭球上的一个“中央截面椭圆”。在球体情况下，这一截面就是大圆，因此“大椭圆线”在球面情形下等价于“大圆航线”​。大椭圆线路径一般不是严格的测地线（除特殊情况如赤道或经线），但对于地球这种扁率很小的椭球而言，大椭圆航线与真正测地线的长度非常接近：在两点相距不超过地球周长1/4（约1万公里）时，两者相差仅约50万分之一。因此，大椭圆航线有时被视作远距离航行的良好近似路线。

适用场景

大椭圆航线主要在长距离航海和航空规划的历史上扮演角色。当航程跨越大片海域、涉及高纬度时，传统的等角航线会显著变长，而大圆航线虽然更短但未考虑地球扁率。此时航海者会选用“大椭圆航线”进行精密推算，以取得比大圆更准确的距离。例如，早期远洋船舶在制图时，有时采用大椭圆方法来校正大圆航线的误差，使航线长度更贴近实际最短路径。

现代应用中，随着计算机可以直接求解测地线，大椭圆航线作为独立方法的实用需求降低。

但在教学和研究中，它仍是理解球面与椭球航线差异的一个重要概念。例如航海院校会比较等角航线、大圆航线和大椭圆航线三者在不同投影下的表现；航空领域也关注大椭圆在极地航路规划中的作用（如跨越极区的航班，其航路平面近似通过地心）。总体而言，如果需要在适度简化计算的同时保证较高精度，大椭圆航线是不失为一种折衷方案：它计算上比测地线简单但精度几乎相当，于是曾被用于远程航线的人工规划。

不过在当今GIS应用中，通常只有在特定分析或专业仿真中才会刻意区分“大椭圆”路径；一般的长距离最短路径问题，直接使用测地线算法即可满足需求。各大GIS软件和工具也都倾向于提供测地线作为默认选项，以确保得到真正的最短距离结果。因此，大椭圆线更多具有理论和教学意义，用于说明地球非球形时航线规划的细微差异。

计算原理与算法

计算大椭圆线通常需要求解平面与椭球的交线问题。基本原理是：已知两端点的地理坐标，可确定经过椭球中心和这两点的平面方程，然后求此平面与椭球面的交线。在数学上，这会得到一个二次曲线（椭圆）的参数方程。直接求解可能比较复杂，GIS领域常采用等效球面映射的方法来简化计算：

• 辅助球面法： 将地球椭球投影或映射到一个辅助球面，使得两点所在的大椭圆对应于球面上的大圆。常用的方法包括映射椭球的参数纬度（亦称第二纬度）或地心纬度到球面en.wikipedia.org。例如，选取与椭球赤道半径相同的球体，通过令球面上的纬度$\beta$满足$\tan\beta = (1-f)\tan\phi$（其中$f$是椭球扁率，$\phi$为地理纬度）来进行变形sourceforge.net。如此一来，椭球上的大椭圆会映射为球体上的大圆en.wikipedia.org。在该辅助球面上，可用球面大圆航线公式计算距离和航向，然后再反变换回原来的椭球坐标，即可得到大椭圆航线解。文献中也有直接针对大椭圆航线的反解算法（如Williams 1996提出的大椭圆距离和航向公式）用于航海计算en.wikipedia.org。

• 精度与差异： 由于地球的扁率很小（约1/298.3），大椭圆线长度与真正测地线长度的差别在常见距离范围内极小。例如，大西洋跨洋航线几千公里范围内，两者差异可能只有几米到几十米量级。因此在电子计算手段不便的年代，大椭圆被视为计算简便又足够精确的长航线方案sourceforge.net。需要强调的是，大椭圆并非严格最短路径，特别是在超远距离（接近半个地球）时会有细微差别。不过这些差异相对于总距离而言非常小，一般不足0.1%。现代高精度需求下，可以直接采用测地线算法获得最优解，大椭圆更多作为一种概念或近似方法存在。

XinGEO中的距离计算

XinGEO的测地线计算采用Proj4库进行，测地线是采用Charles F. F. Karney 的椭球测地线精确解算法（2013），参考文档geod_inverse函数 — PROJ 9.6.2 文档，对具体算法有兴趣的研究者可以参考原始论文Algorithms for geodesics|Journal of Geodesy 出版日期：2012 年 6 月 26 日第 87 卷，第 43-55 页。

Karney 的算法相比早期的 Vincenty 算法（1975） 优势如下：

比较项	Vincenty 算法	Karney 算法
精度	毫米级（高精度）	纳米级（极高精度）
稳定性	在接近对跖点（180°）附近会发散	全面稳定收敛
可用纬度范围	几乎全球，但极点附近不稳定	全球适用（极区稳定）
使用者	GPS 计算器、早期 GIS	现代 PROJ、GeographicLib

投影距离是使用proj4库转换为投影坐标系后，再进行计算近距离。

等角线（Rhumb Line，航向线）采用proj4库进行， 通过 墨卡托投影后测直线 实现近似，pyproj 中封装为 Geod.rhumb_inverse() 与 rhumb_direct()。

大椭圆线（Great Ellipse Line）采用GeographicLib进行，GeographicLib 是由美国数学家 Charles F. F. Karney 开发的一个 高精度地理计算库，用于在椭球体上进行测地学相关的计算。它被广泛应用于 GIS、导航、遥感、地图制图、测量工程 等领域，是现代地理测量领域最权威和精确的工具之一。https://grass.osgeo.org/grass-stable/manuals/d.geodesic.html)